المادة : الرياضيات
الأستاذ : علي الشريف
درس : عموميات حول الدوال
www.madariss.fr
المستوى : الأ ولى علوم تجريبية
ثا.المختار السوسي.نيابة الخميسات
1
أنشطة تذآيرية : ( I
نشاط رقم 1 : ( مجموعة تعريف دالة ) .
نشاط رقم 2 : ( زوجية دالة ) .
تذآير : ..
موجودة . f(x) هي مجموعة الأ عداد الحقيقية التي من أ جلها f مجموعة تعريف دالة ..
Df = {x .IR / f(x) .IR} : و نكتب
زوجية إ ذوفقط إ ذا آان : f الدالة ..
. . .
= . .
. . .
f
f f
f(-x) f(x) x D
x D : - x D
. . .
= . . .
. . .
f
f f
f(-x) f(x) x D
x D : - x D : فردية إ ذوفقط إ ذا آان f الدالة ..
نشاط رقم 3 : ( الشلجم و الهدلول ) .
تذآير : ..
تغيرات دالة : ..
a . b. f (a) . f (b) ( f (a). f (b)) : I من b و لكل I من a إ ذ ا آان لكل I تزايدية ( قطعا) على مجال f 1 نقول أن
( ) ( ) : I من b
a . b. f a . f b ( f (a). f (b)) و لكل I من a إ ذ ا آان لكل I تزايدية ( قطعا) على مجال f 2 نقول أن
تناقصية f تزايدية الدالة f الدالة
الشلجم : ..
. f (x) = ax منحنى الدالة 2
a . 0 a . 0
( )
الهذلول: ..
f x a منحنى الدالة
x
: =
a . 0 a . 0
المادة : الرياضيات
الأستاذ : علي الشريف
درس : عموميات حول الدوال
www.madariss.fr
المستوى : الأ ولى علوم تجريبية
ثا.المختار السوسي.نيابة الخميسات
2
نشاط رقم 4 : ( التغيرات و زوجية دالة ) .
نشاط رقم 5 : ( مطارف دالة ) .
تذآير : ..
مجموعة تعريفها Df دالة عددية لمتغير حقيقي و f لتكن
. I من x لكل f (x) . f(.) و ..I : بحيث I مجال مفتوح Df إ ذا وجد ضمن . تقبل قيمة قصوى عند النقطة f ..
. J من x لكل f (.) . f(x) و .. J : بحيث J مجال مفتوح Df إ ذا وجد ضمن . تقبل قيمة دنيا عند النقطة f ..
( f (x) . f(.) ) f (x) . f(.) Df من x إ ذا آان لكل . تقبل قيمة قصوى مطلقة ( قيمة دنيا مطلقة) عند النقطة f ..
الدالة المكبورة – الدالة المصغورة – الدالة المحدودة: ( II
نشاط رقم 1 : ( الدالة المكبورة – الدالة المصغورة ) .
تعريف : ..
نقول أ ن : .IR من I دالة معرفة على مجال f لتكن
f (x) . M : I من x بحيث لكل M إ ذا وجد عدد حقيقي I مكبورة على f ..
. f (x) . m : I من x بحيث لكل m إ ذا وجد عدد حقيقي I مصغورة على f ..
. I إ ذا آانت مصغورة و مكبورة على I محدودة على f ..
: التمرين رقم 1 ..
خاصية : ..
.IR من I دالة معرفة على مجال f لتكن
. I من x لكل f (x) . k : بحيث k إ ذا وفقط إ ذا وجد عدد حقيقي موجب I محدودة على f تكون الدالة
الدالة الدورية : ( II
نشاط رقم 2 : ( الدالة الدورية ) .
تعريف : ..
مجموعة تعريفها . D دالة عددية و f لتكن
موجب قطعا بحيث : T دالة دورية إ ذا وجد عدد حقيقي f نقول إ ن
. f يسمى دورا للدالة T العدد f (x +T ) = f (x) و (x +T ).D : D من x لكل
التأويل الهندسي : ..
ثم آستنتاج المنحنى ( f يسمى دورا للدالة T حيث ) T لإنشاء منحنى دالة دورية يكفي إنشاء منحناها على أي مجال طوله
بآستعمال إزاجات متتالية .
مثال : ..
2 دور لهما . . دوريتان و cos(x) و sin(x) الدالتان
تمرين تطبيقي : ..
المعرفة على بما يلي : h و g و f لتكن الدوال
h(x) = 2cos(3x) , g (x) = sin(2. x) , f ( x) = cos2 (x)
2 ;1 ;
3
.
. . : دوال دورية أ دوارها على التوالي h و g و f بين أ ن
المادة : الرياضيات
الأستاذ : علي الشريف
درس : عموميات حول الدوال
www.madariss.fr
المستوى : الأ ولى علوم تجريبية
ثا.المختار السوسي.نيابة الخميسات
3
العمليات على الدوال العددية : (IV
1 ) مقارنة دالتين – التأ ويل الهندسي :
نشاط رقم 3 : ( مقارنة دالتين ) .
تعريف : ..
Dg و Df دالتين عدديتين و g و f لتكن
f g
على التوالي مجموعة تعريفهما .
.x.Df : f (x) = g (x) * و Df = Dg * : و نكتب = إ ذا وفقط إ ذا آان g تساوي f * نقول إ ن
. g f (x) . g(x)
f : و نكتب : I من x إ ذا آان لكل I على مجال g أ آبر من أ و تساوي f * نقول أ ن
التأويل الهندسي : ..
. I على g يوجد تحت منحنى الدالة I على f يعني هندسيا أ ن منحنى الدالة I على مجال f . g
2 ) مجموع و جداء و خارج دالتين :
نشاط رقم 4 : ( العمليات على الدوال ) .
تعريف : ..
D g f
g
و دالتين معرفتين على نفس المجموعة .
( f + g)(x) = f (x) + g (x) و تكتب على شكل f + g ب D و هو الدالة المعرفة على f * مجموع الدالتين
g f
( f × g)(x) = f (x)× g ( x) و تكتب على شكل f × g ب D * جداء الدالتين و هي الدالة المعرفة على
f
(. f )(x) =.. f ( x) و تكتب على شكل . f ب D هي الدالة المعرفة على . * جداء الدالة في العدد الحقيقي
f
( f +. )(x) = f (x) +. و تكتب على شكل f +. ب D هي الدالة المعرفة على . * مجموع الدالة و العدد الحقيقي
D g f
f * خارج الدالتين و هي الدالة المعرفة على ب
g
و تكتب على شكل ( ) ( )
( )
f f x x
g gx
. .
. . =
. .
" D في g " شريطة أ ن لا تنعدم الدالة
: مبرهنة 1 ..
* مجموع دالتين تزايديتين ( قطعا ) هو دالة تزايدية ( قطعا ) .
* مجموع دالتين تناقصيتين ( قطعا ) هو دالة تناقصية ( قطعا ) .
تمرين تطبيقي : .
هل يمكن آستنتاج رتابة الدوال التالية :
1 ) مجموع دالة تزايدية و دالة تزايدية قطعا , 2 ) مجموع دالة تزايدية و دالة تناقصية و 3 ) جداء دالتين تزايديتين .
4 ) جداء دالتين تناقصيتين , 5 ) جداء دالة تزايدية و دالة تناقصية .
: مبرهنة 1 ..
دالة عددية . f عدد حقيقي و . ليكن
f +. و f * الدالتين
0
لهما نفس منحى التغيرات .
لهما نفس منحى التغيرات . . f و f الدالتين , . . * إ ذا آان
منحى تغيراتهما متعاآسان . . f و f الدالتين , . . * إ ذا آان 0
ملحوظة : .
u (0;. ) بإزاحة متجهتها f يستنتج من التمثيل المبياني للدالة f +. * التمثيل المبياني للدالة
r
.
المادة : الرياضيات
الأستاذ : علي الشريف
درس : عموميات حول الدوال
www.madariss.fr
المستوى : الأ ولى علوم تجريبية
ثا.المختار السوسي.نيابة الخميسات
4
2 ) صورة مجال بدالة عددية :
نشاط رقم 5 :( صورة مجال بدالة ) .
تعريف : ..
مجموعة تعريفها . Df دالة عددية , و f لتكن
. Df صمن IR مجالا من I ليكن
f (I ) و يرمز لها بالرمز , f بالدالة I تسمى صورة المجال , I على المجال x عندما يتغير f ( x) المجموعة المكونة من العناصر
:
y. f (I ).(.x.I ) : y = f (x) * , f (I ) = { f (x) / x.I} * أ ي
ملحوظة : .
I . Df : بحيث IR مجالان من J و I . مجموعة تعريفها Df دالة عددية , و f *
f (I ) . J .(.x.I ); f (x).J : لدينا
3) مرآب دالتين :
نشاط رقم 6 : ( مرآب دالتين ) .
تعريف : ..
. Dg و Df دالتين عدديتين معرفتين على التوالي على g و f لتكن
D = {x.IR / x.Df و f ( x).Dg} : نضع
h
g f h(x) = g ( f (x)) : بما يلي D الدالة العددية المعرفة على
gof
, تسمى مرآب الدالتين و في هذا الترتيب
و يرمز لها بالرمز : .
ملحوظة : .
( ) } * g Dgof = {x.IR / x.Df و f x .D
f
.
أ مثلة : ..
g (x) = 2x + بما يلي : 1 IR المعرفة على g و الدالة f (x) = x بما يلي 2 IR لتكن الدلة المعرفة على ..
( )
f (g x ) = fog = f (2x +1) = (2x +1) لدينا : 2
f
.
g (x) = x : المعرفة على ].+; 0] ب g و الدالة f (x) = .x + لتكن الدالة المعرفة على[ 5;..[ بما يلي : 5 ..
( ) :
g ( f x ) = gof (x) = g ( x) = .x + لدينا 5
v u
.
ملحوظة : .
نقول أن مرآب دالتين عملية غير تيادلية) ) uov . vou بصفة عامة لدينا . IR لتكن و دالتين معرفتين على التوالي
4 ) رتابة مرآب دالتين :
نشاط رقم 7 ( رتابة مرآب دالتين ) .
خاصية : ..
. J تنتمي إ لى f(x) لدينا I من x بحيث لكل J دالة معرفة على المجال g و I دالة معرفة على المجال f لتكن
. I تزايدية على gof على التوالي فإ ن J و I تزايديتين على g و f إذا آانت ..
. I تزايدية على gof على التوالي فإ ن J و I تناقصيتين على g و f إذا آانت ..
. I تناقصية على gof فإ ن J تناقصية على g و I تزايدية على f إذا آانت ..
. I تناقصية على gof فإ ن J تزايدية على g و I تناقصية على f إذا آانت ..
المادة : الرياضيات
الأستاذ : علي الشريف
درس : عموميات حول الدوال
www.madariss.fr
المستوى : الأ ولى علوم تجريبية
ثا.المختار السوسي.نيابة الخميسات
5
: التمرين رقم 11 ..
: .. f و f +. 3 ) منحى تغيرات الدالتين
: نشاط رقم 8 .
: x.a.x و 3 x. x + a التمثيل المبياني للدالتين (V
عدد حقيقي : a حيث f (x) = x + a 1 ) دراسة الدالة
: نشاط رقم 9 .
خلاصة : .
Df = [.a;+.[ هي f (x) = x + a * محموعة تعريف الدالة
f
.
[.a;+.[ * رتابة الدالة : تزايدية قطعا على المجال
f
.
* جدول تغيرات الدالة :
: f * التمثيل المبياني للدالة
( ) f . a = و 1 a = . و 1 a = من أ جل 0 C في الشكل جانبه أنشئنا المنحنى
ملحوظة : .
.a.i x. x يستنتج من منحنى الدالة x. x + a منحنى الدالة
r
. 3
بالإزاحة ذات المتجهة .
عدد حقيقي غير منعدم : a حيث x.a x 2 ) دراسة الدالة
: نشاط رقم 10 .
(O;i; j) منحناها في معلم متعامد ممنظم
r r
. (Cg ) و ليكن g (x) = 2x بما يلي : 3 IR لتكن الدالة العددية المعرفة على ( I
.[ على المجال ].+, 0 g 1 ) أ درس تغيرات الدالة
cherifalix@hotmail.com . فردية ثم ضع جدول تغيراتها g 2 ) بين أ ن الدالة
3 ) آنقل الجدول الآتي في دفترك ثم آملأه .
3
2
1
1
2
x 0
g (x)
(Cg ) 4 ) مستعينا بالجدول , أنشئ المنحنى
2 3
.
. x.. x مثل مبيانيا الدالة ( II
المادة : الرياضيات
الأستاذ : علي الشريف
درس : عموميات حول الدوال
www.madariss.fr
المستوى : الأ ولى علوم تجريبية
ثا.المختار السوسي.نيابة الخميسات
6
0
خلاصة : .
. IR تزايدية قطعا على g (x) = ax فإن الدالة 3 a. • إ ذا آان
. IR تناقصية قطعا على g (x) = ax فإن الدالة 3 a. • إ ذا آان 0
: تمرين تطبيقي رقم 12 ..
(O;i; j) أنشئ في معلم متعامد ممنظم
r r
2 3
في آل حالة من الحالات التالية : f منحنى الدالة
( ) ( 2 , f (x) = x ( 1
3
8
f (x) = x .3 ( 4 , f ( x) = x +1 ( 3 , f x = . x
cherifalix@hotmail.com
المراجع :
1 ) آتاب الجيد في الرياضيات . السنة الأولى علوم تجريبية
2 ) آتاب في رحاب الرياضيات . . السنة الأولى علوم تجريبية .
3 ) مواقع إلكترونية .
